Доверительные интервалы для параметров нормального распределения

Построим доверительные интервалы для характеристик обычного рассредотачивания, т. е. когда подборка делается из генеральной сово­купности, имеющей обычное рассредотачивание с параметрами аист2.

Доверительный интервал для математического ожидания при известной дисперсии

Пусть с. в. X ~ iV(a, а); а — известна, доверительная возможность (надежность) 7 — задана.

Пусть х\,х2,... ,хп — подборка, приобретенная в итоге проведе­ния Доверительные интервалы для параметров нормального распределения п независящих наблюдений за с. в. X. Чтоб выделить случай­ный нрав величин х\,х2, • •., in, перепишем их в виде Х\, Х2,... ... , Х„, т. е. под Xi будем осознавать значение с. в. X в г-м опыте. Случайные величины Xi, Х2: ..., Хп — независимьг, закон распреде­ления хоть какой из Доверительные интервалы для параметров нормального распределения их совпадает с законом рассредотачивания с. в. X (т. е. Xi ~ iV(a, сг)). А это означает, что МХг = МХ2 = ... = МХп = MX = a, DXi = DX2 = ... = DXn = DX. Выборочное среднее

n

xB — x = n У^ Xj i=i

также будет распределено по нормальному закону (примем без дока­зательства). Характеристики рассредотачивания X Доверительные интервалы для параметров нормального распределения таковы: М(Х) = a, D(X) = о1

= —. Вправду,

М(Х) = М (1£ хЛ = I ■ £ МХ; = I • £ MX = MX = а,

^ г=1 ' г—1 г=1

^ t=l ' г=1 г=1

Таким макаром, X ~ N ( a, 1.

V \ЛМ

Как следует, пользуясь формулой

р{|Х-а|<а = 2Ф0(^)=2ф(1)~1

(формула (2.47)), можно записать

7 - р{\Х -а\<с} = 2Ф0 (Ц^) = 2ФоМ Доверительные интервалы для параметров нормального распределения,

е ■ у/п

где t — —^—. Из последнего равенства находим

£ = (7.3)

у/П

потому 7 = р < \Х - а\ = 2Ф0(£) либо

I J

р (х - * • ^ < а < х +1 • = 2Ф0(*) == 7.

I у/п у/пJ

В согласовании с определением доверительного интервала получа­ем, что доверительный интервал для а = MX есть

* + *.-£=), (7.5)

\/п у/П,

где t определяется из равенства (7.4), т.е. из уравнения

Фоф - I (7-6)

7 2

1 + 7

(либо Доверительные интервалы для параметров нормального распределения Ф(£) = —^—)? ПРИ данном 7 по таблице функции Лапласа на­ходим аргумент t.

Заметим, что из равенства (7.3) следует: с возрастанием объема подборки п число е убывает и, означает, точность оценки возрастает; повышение надежности 7 тянет уменьшение точности оценки.

Пример 7.5. Произведено 5 независящих наблюдений над с. в. X ~ ~ JV(a,20). Результаты наблюдений Доверительные интервалы для параметров нормального распределения таковы: х\ — —25, х2 ~ 34, #3 — = — 20, = 10, Ж5 = 21. Отыскать оценку для а = MX, также выстроить для него 95%-й доверительный интервал.

О Находим поначалу хъ: х = ~ • (-25 + 34 - 20 + 10 + 21) = 4, т.е.

_ у

х = 4. Беря во внимание, что 7 = 0,95 и Фо(£) = ^ П0ЛУчаем ФоМ — 0,475.

По таблице (см. Приложение) выясняем, что t = 17 = 1,96. Тогда е = 1 96 ■ 20

= ———— ~ 17,5 (формула (7.3)). Доверительный интервал для а = v5

(7.4)

= MX (согласно Доверительные интервалы для параметров нормального распределения (7.6)) такой: (4 - 17,5;4 + 17,5), т.е. (-13,5; 21,5). •

Доверительный интервал для математического ожидания при неведомой дисперсии

Пусть с. в. X ~ N(a, а), а — неведома, 7 — задана. Найдем такое число е, чтоб производилось соотношение р{Х — £ < а < Х + е} = 7 либо

р{\Х -а\<е} = у. Введем случайную величину

~Х — а

Т =

s

п

у/п

где S — исправленное среднее квадратическое отклонение Доверительные интервалы для параметров нормального распределения с. в. X, вы­численное по выборке:

-L- - - Х)\

1=1

Доказывается, что с. в. Т имеет рассредотачивание Стьюдента (см. п. 4.3) с п — 1 степенью свободы. Плотность этого рассредотачивания имеет вид:

где Г(р) = J up~l - e~udu — гамма-функция; /т(£,п — 1) — четная о

(7.7)

функция.

Перейдем в левой части равенства (7.7) от с. в Доверительные интервалы для параметров нормального распределения. X к с. в. Т:

\Х - а\ £

у/П у/К J

либо р ||Т| < = 7 либо рТ = 7, где

(7.8)

е • у/п

Ц- s •

2-J fr{t,n — l)dt = 7.

о

Пользуясь таблицей квантилей рассредотачивания Стьюдента (см. прило­жение 4 на с. 252), находим значение <7 зависимо от доверительной вероятности 7 и числа степеней свободы п — 1 (Ц — квантиль Доверительные интервалы для параметров нормального распределения уров­ня 1 — 7).

А у/п

Определив значение из равенства (7.8), находим значение е:

е = t7 - -А-. (7.9)

Как следует, равенство (7.7) воспринимает вид

plx-t7--^

I Vn V™ J

А это означает, что интервал

покрывает о — MX с вероятностью 7, т. е. является доверительным интервалом для неведомого математического ожидания с. в Доверительные интервалы для параметров нормального распределения. X.

fn Пример 7.6. По условию примера 7.5, считая, что с. в. X ~ iV(a,

О Оценку х для MX уже знаем: х = 4. Находим значение S:

S2 = 1 ((-25 - 4)2 • 1 + (34 - 4)2 + (-20 - 4)2 + (10 - 4)2 + (21 - 4)2) =

= 660,5; S « 25,7. По таблице для 7 = 0,95 и n — 1 = 4 находим ty = 2,78.

25 7

Величина Ц находится из условия и p{\T\

т. е. из равенства

Как следует, £ = 2,78 - тр^ ~ 31,9. Доверительный интервал такой: (—27,9; 35,9). ' •

Доверительный интервал для среднего квадратического отличия обычного рассредотачивания

Пусть с. в. X ~ N(a,a), о — непонятно, 7 — задано. Можно по­казать, что если MX = а понятно, то Доверительные интервалы для параметров нормального распределения доверительный интервал для среднего квадратического отличия о имеет вид:

{^ ' У^ '

\ Х2 ' Xi ) '

1 71

где п — объем подборки, s2 — ^ — о)2, а

i=l

2 _ 2 2 _ 2 ** — ' _ ^ 1 ~ 7

2 2 'п

являются квантилями ^-распределения с п степенями свободы (см. п. 4.3), определяемые по таблице квантилей Ха,н рассредотачивания Хп (см- приложение 3 на с. 251).

Если а = MX непонятно, то доверительный интервал для неиз­вестного сг Доверительные интервалы для параметров нормального распределения имеет вид:

\ Х2 ' Xi ) '

п

где п — объем подборки, S2 = —• — X)2 — исправленное

i-1

среднее квадратическое отклонение, квантили

2 __ 2 2 ________________ 2

Xl~Xl+7 1 Х2 — Х1-7

—2——2—*

о 1 т 1 — 'У

определяются по таблице к ПРИ к=п~1иа= —^— и а = — соответственно.

Пример 7.7. Для оценки параметра нормально распределенной слу­чайной величины была изготовлена подборка объема в 30 единиц и вычи Доверительные интервалы для параметров нормального распределения­слено s = 1,5. Отыскать доверительный интервал, покрывающий а с ве­роятностью 7 = 0,90.

О Имеем п — 30, 7 = 0,9. По таблице Ха к нах°Дим Xi = X2I + 0,9 =х2(0,95;29) = 17,7,

а

—о—:30—1

xl = х\ — о,9 = Х2(0,05;29) - 42,6.

2 ;30-1

Доверительный интервал имеет вид:

/у/30-1-1,5 л/30 — 1 • 1,5\ V ' чЯ7Д )

либо 1,238 < СГ < 1,920. •

Скажем несколько слов о доверительном интервале для оценки ве­роятности Доверительные интервалы для параметров нормального распределения фуррора при большенном числе испытаний Бернулли.

(7.10)

Доверительный интервал, который с надежностью 7 покрывает оцениваемый параметр р при огромных значениях п (порядка сотен), имеет вид (рьрг), где

P\=P -t- у--------- ^----- и р2=р +t-у--------- п---

где р* = — относительная частота действия A; t определяется из равенства 2Фо(£) = 7.

Для оценки приближенного равенства Доверительные интервалы для параметров нормального распределения р р* можно использовать

равенство р = 2Фо ^J^^J (см. п. 4.1).

Упражнения

1. Глубина моря измеряется прибором, периодическая ошибка ко­торого равна нулю, а случайные ошибки распределены нормально с а = 15 м. Сколько нужно сделать независящих измерений, чтоб найти глубину моря с ошибкой менее 5 м при надежности 7 = 0,9?

2. По условию примера 6.3 отыскать точечную Доверительные интервалы для параметров нормального распределения оценку и доверительный интервал для среднего роста студентов, считать 7 = 0,95.

3. Выполняются независящие тесты с схожей, но с неизвест­ной вероятностью р возникновения действия а в каждом испытании. Отыскать доверительный интервал для оценки р с надежностью 0,95, если в 400 испытаниях действия а появилось 80 раз.

7.5. Проверка статистических гипотезЗадачки статистической проверки гипотез

Одна из нередко Доверительные интервалы для параметров нормального распределения встречающихся на практике задач, связанных с при­менением статистических способов, состоит в решении вопроса о том, должно ли на основании данной подборки быть принято либо, напро­тив, отвергнуто некое предположение (догадка) относительно ге­неральной совокупы (случайной величины).

К примеру, новое лечущее средство испытано на определенном числе лю Доверительные интервалы для параметров нормального распределения­дей. Можно ли сделать по данным результатам исцеления обоснованный вывод о том, что новое лечущее средство более отлично, чем применявшие­ся ранее способы исцеления? Аналогичный вопрос разумно задать, говоря о новеньком правиле поступления в университет, о новеньком способе обучения, о полезности резвой ходьбы, о преимуществах новейшей модели автомобиля либо Доверительные интервалы для параметров нормального распределения тех­нологического процесса и т. д.

Процедура сравнения высказанного догадки (догадки) с выборочными данными именуется проверкой гипотез.

Задачки статистической проверки гипотез ставятся в последующем виде: относительно некой генеральной совокупы высказыва­ется та либо другая догадка Н. Из этой генеральной совокупы из­влекается подборка. Требуется указать правило, с помощью которого можно Доверительные интервалы для параметров нормального распределения было бы по выборке решить вопрос о том, следует ли отклонить догадку Н либо принять ее.

Необходимо подчеркнуть, что статистическими способами догадку можно только опровергнуть либо не опровергнуть, но не обосновать. К примеру, для проверки утверждения (догадка Н) создателя, что «в рукописи нет ошибок», рецензент прочитал (исследовал) несколько Доверительные интервалы для параметров нормального распределения страничек рукописи.

Если он нашел хотя бы одну ошибку, то догадка Н отверга­ется, в неприятном случае — не отвергается, молвят, что «результат проверки с догадкой согласуется».

Выдвинутая догадка может быть правильной либо неверной, потому появляется необходимость ее проверки.

Статистическая догадка. Статистический аспект

Под статистической догадкой (либо просто догадкой) понима­ют Доверительные интервалы для параметров нормального распределения всякое выражение (предположение) о генеральной совокупы, проверяемое по выборке.

Статистические догадки делятся на догадки о параметрах рас­пределения известного вида (это так именуемые параметрические ги­потезы) и догадки о виде неведомого рассредотачивания {weпараметри­ческие догадки).

Одну из гипотез выделяют в качестве основной (либо нулевой) и обозначают Hq, а другую Доверительные интервалы для параметров нормального распределения, являющуюся логическим отрицанием Hq, т. е. обратную Hq — в качестве конкурирующей (либо альтер­нативной) догадки и обозначают Н\.

Догадку, совершенно точно фиксирующую рассредотачивание наблюдений, именуют обычный (в ней речь идет об одном значении параметра), в неприятном случае — сложной.

К примеру, догадка Hq, состоящая в том что математическое ожи­дание с Доверительные интервалы для параметров нормального распределения.в. X равно ао, т.е. MX ~ ао, является обычной. В качестве другой догадки можно рассматривать одну из последующих ги­потез: H\i MX > ао (непростая догадка), Н\\ MX < ао (непростая), Н\: MX ф ао (непростая) либо Н\\ MX = ai (обычная догадка).

Имея две догадки Hq и Нi, нужно на базе Доверительные интервалы для параметров нормального распределения подборки Xi,..., Хп принять или основную догадку #о, или конкурирующую Н\.

Правило, по которому принимается решение принять либо откло­нить догадку Hq (соответственно, отклонить либо принять Hi), назы­вается статистическим аспектом (либо просто аспектом) проверки догадки Щ.

Проверку гипотез производят на основании результатов выбор­ки Xi, Х Доверительные интервалы для параметров нормального распределения2,...,Хп, из которых сформировывают функцию подборки Тп = = Т(Х 1,^2,... Дп)) именуемой статистикой аспекта.

Основной принцип проверки гипотез состоит в последующем. Мно­жество вероятных значений статистики аспекта Тп разбивается на два непересекающихся подмножества: критичную область S, т. е. область отличия догадки Hq и область S принятия этой гипоте­зы Доверительные интервалы для параметров нормального распределения. Если практически наблюдаемое значение статистики аспекта (т. е. значение аспекта, вычисленное по выборке: Тнабл — Т{х\, х2,..., хп)) попадает в критичную область S, то основная догадка Hq отклоняет­ся и принимается другая догадка Н\ \ если же Тнабл попадает в S, то принимается Но, а Hi отклоняется.

При проверке догадки может быть Доверительные интервалы для параметров нормального распределения принято неверное реше­ние, т. е. могут быть допущены ошибки 2-ух родов:

Ошибка первого рода заключается в том, что отвергается нулевая гипо­теза Hq , когда по сути она верна.

Ошибка второго рода заключается в том, что отвергается альтернатив­ная догадка Hi, когда она по сути верна.

Рассматриваемые случаи Доверительные интервалы для параметров нормального распределения наглядно иллюстрирует последующая таб­лица.

Догадка Но Отвергается Принимается
верна неверна ошибка 1-го рода правильное решение правильное решение ошибка 2-го рода

Возможность ошибки 1-го рода (обозначается через а) именуется уровнем значимости аспекта.

Разумеется, а — p(H\\Hq). Чем меньше а, тем меньше возможность отклонить верную догадку. Допустимую ошибку Доверительные интервалы для параметров нормального распределения 1-го рода обычно за­дают заблаговременно.

В одних случаях считается вероятным пренебречь событиями, ве­роятность которых меньше 0,05 (а = 0,05 значит, что в среднем в 5 случаях из 100 испытаний верная догадка будет отвергнута), в других случаях, когда идет речь, к примеру, о разрушении сооружений, гибе­ли судна и т.п., нельзя пренебречь обстоятельствами, которые Доверительные интервалы для параметров нормального распределения могут показаться с вероятностью, равной 0,001.

Обычно для а употребляются стандартные значения: а — 0,05; а = 0,01; 0,005; 0,001.

Возможность ошибки 2-го рода обозначается через /3, т. е. /3 = = р(Яо|Я0.

Величину 1 — /3, т. е. возможность недопущения ошибки 2-го рода (отторгнуть неправильную догадку Hq, принять верную Hi), именуется мощностью аспекта.

Разумеется, 1 — /3 = p(i?i|jffi) — p Доверительные интервалы для параметров нормального распределения{{xi,x2,...,хп

Чем больше мощность аспекта, тем возможность ошибки 2-го рода меньше, что, естественно, лучше (как и уменьшение а).

Последствия ошибок 1-го, 2-го рода могут быть совсем раз­личными: в одних случаях нужно минимизировать а, в другом — tв. Так, применительно к радиолокации молвят, что а — возможность пропуска сигнала, /3 — возможность неверной волнения Доверительные интервалы для параметров нормального распределения; применительно к производству, к торговле можно сказать, что а — риск поставщика (т. е. забраковка по выборке всей партии изделий, удовлетворяющих эталону), /3 — риск потребителя (т.е. прием по выборке всей партии изделий, не удовлетворяющей эталону); применительно к судебной системе, ошибка 1-го рода приводит к оправданию виноватого, ошибка 2-го Доверительные интервалы для параметров нормального распределения рода — осуждению невиновного.

Отметим, что одновременное уменьшение ошибок 1-го и 2-го рода может быть только при увеличении объема выборок. Потому обычно при данном уровне значимости а отыскивается аспект с большей мощностью.

Методика проверки гипотез сводится к последующему:

1. Располагая подборкой Х\, Х2, • • •, Хп, сформировывают нулевую догадку Да и альтернативную Доверительные интервалы для параметров нормального распределения Н\.

2. В каждом определенном случае подбирают статистику аспекта Тп — — Т(Х 1,^2,..., Хп), обычно из перечисленных ниже: U — нормаль­ное рассредотачивание, х2 — рассредотачивание хи-квадрат (Пирсона), t — рассредотачивание Стьюдента, F — рассредотачивание Фишера-Снедекора.

3. По статистике аспекта Тп и уровню значимости а определяют критичную область S (и S). Для ее отыскания довольно отыскать критичную Доверительные интервалы для параметров нормального распределения точку tKp, т.е. границу (либо квантиль), отделяющую область S от S.

Границы областей определяются, соответственно, из соотношений: Р(Тп ~> ^кр) — ск, для правосторонней критичной области S (рис. 63); Р{Тп < tKр) = ск, для левосторонней критичной обла­сти S (рис. 64); Р(Тп < = Р{Тп > tjp) = для двухсторонней критичной области S (рис Доверительные интервалы для параметров нормального распределения. 65).

Рис. 63

Для каждого аспекта имеются надлежащие таблицы, по ко­торым и находят критичную точку, удовлетворяющую приведен­ным выше соотношениям.

4. Для приобретенной реализации подборки х = (xi,x2,..., хп) подсчи­тывают значение аспекта, т. е. Тна бл = Т(х i, ж2, ...,xn) = t.

5. Если t £ S (к примеру, t > tKp Доверительные интервалы для параметров нормального распределения для правосторонней области 5), то нулевую догадку Щ отторгают; если же t £ S (t < £кр), то нет оснований, чтоб отторгнуть догадку Hq.

Рис. 64

Рис. 65


dozhd-noch-i-dvoe-v-put-nikto-ne-proch-navstrechu-tishine-on-znal-chem-obernetsya-shkolnij-bal-chto-nayavu-a-ne-vo-sne.html
dozhdevoj-cherv-bakteriya-podberezovik-zhuzhelica-omar.html
dozi-i-dozirovanie-lekarstvennih-sredstv.html